可公度性考察
可公度性(Commensurability)概念是翁文波先生从天文学引申而来，并创造性地应用于预测学中，作为信息预测的一种方法。这一方法看似简单，却有其深刻的思想内涵，而且要在实际预测中应用，还有一些具体技术或技巧需要明晰。比如翁先生所举的可公度性实际预测案例中，均为加法或减法的多元合成，而对乘除法的多元合成很少提及。本文从考察可公度比概念出发，将加法或减法的多元合成扩张到乘除法的多元合成，并以我国股市上证综合指数为例，具体说明这一扩张的应用。
可公度性(Commensurability)，简单地说就是：可以用同一尺度度量的性质。但要深刻理解这一概念，还需要追溯一下历史。
最早提出可公度性概念的可能是古希腊时期的毕达哥拉斯学派。万物皆数是这一学派的著名信条。在研究几何图形时，他们把那些能用整数之比表达的比称做可公度比。他们在研究比例关系的时候，提出了关于两个数的算术平均值、几何平均值、调和平均值的概念，并求出了它们之间的比例关系。
算术平均值M，M=(a＋b)/2
几何平均值G，G=√ab
调和平均值H，G=2ab/(a+b)
∵G=√ab=√MH
∴M：G=G：H
这个比例，毕达哥拉斯学派称之为完全比例。它表明从两个数出发，可以派生出另外若干数，数与数之间具有内在的联系。进一步研究a和b这两个原始数据与它们的算术平均值M、调和平均值H的关系，可以发现：
a：M=H：b或：a：(a＋b)/2=2ab/(a+b)：b
这个比例，毕达哥拉斯学派称之为音乐比例。体现了和谐与美。
欧几里德后来把可公度比推广到实数，并第一次提出了“中外比”问题。如果用a代表一条线段，把长为a的线段分割成a-x与x两个线段，利用完全比例或几何平均值概念使得一部分为比例中项，另一部分为比例外项，则有：
(a-x)：x=x：a即：(a-x)a=x2或：x2+ax-a2=0
解二次方程得：
x=a(√5-1)/2≈0.618a或：x/a≈0.618
这就是“神奇比例”或“黄金分割”最早最完美的表达，事实上它就是推广到实数的可公度比。而后来的费波那奇数列前后两数之比恰好可以作为中外比的一级近似值、二级近似值、……乃至n级的近似值。说明该数列最重要的信号就是可公度比。
如上所述还只是考察了可公度性的一个方面，即可公度比。可公度性的更为深入的表达则来自天文学研究。
表1
i
Di()
Di计算值
T(年)
D3
T2
水星
-∞
0.387
0.4
0.24
0.058
0.058
金星
0
0.723
0.7
0.615
0.378
0.378
地球
1
1.000
1.0
1.000
1.000
1.000
火星
2
1.524
1.6
1.88
3.54
3.53
木星
3
5.200
5.2
11.86
140.61
140.66
土星
4
9.539
10.0
29.46
867.98
867.89
天王星
5
19.200
19.6
84
7077.89
7056
海王星
6
30.100
165
27270.90
27225
冥王星
7
39.500
38.8
248
61629.88
61504
表中Di为行星到太阳的平均距离(天文单位：)；T为各行星的公转周期(单位：地球年)，显然D3=T2；即刻卜勒第三定律：行星公转周期的平方与该行星到太阳平均距离的立方成正比。它也可以表示成：3LogD－2LogT=0的形式
Di计算值是根据波特定则而得，波特定则的最初形式为一数列：
Di=0.4+0.3×2i-2
归一化为:
Log(Di－0.4)－－i×log2=0
i=-∞，0，1，2，3，……
如果将公式中的各项作为单项值(即看作是元素)，即设
Z1=Log(Di－0.4)；Z2=；Z3=log2
则上式即为单项值整倍数的和(多元关系)。也就是说行星到太阳的平均距离，是可以以上式的同一尺度而度量的，而且可公度到不平常的程度，完全超出了偶然可公度的可能性。说明其可公度性完全是自然界的一种秩序。
此外，木星的三个主要卫星有可公度关系：Z1-3Z2+2Z3=0(系数和等于零，与原点无关)
土星的四个卫星有可公度关系：5Z1-10Z2+Z3+4Z4=0(系数和等于零，与原点无关)
天王星的四个卫星有可公度关系：Z1-Z2-2Z3+Z4=0(系数和不等于零，与原点有关)
翁文波先生正是由此出发而把可公度性的概念从天文学推广到预测学的。
有意思的是，许道一先生在研究周易与现代科学关系的过程中，也是从天文学出发的。他令波特定则中：Bk=2i-2
则：Bk=0，1，2，4，8，16，32，64……，256；
显然，该数列符合太极、两仪、四象、八卦的系列。一般地：
令：Bk=√2k；k=……，-2，-1，0，1，2，…
许道一先生把√2k命名为太极序列。他不仅在研究地震活动周期时发现有较好的对应，而且在研究其他许多自然现象时发现也都有较好的对应关系。
而现代世界通用的音乐十二平均率的公比数：1.059463=12√2
明代朱载俼就得出了这一公比数，他的计算方法是：
1＋1=2
√(1＋1)=√2
√(1＋√2)=4√2
3√(1×1×4√2)=12√2
这位先生有句话也很有趣：“天运无端，惟数可以测其几；天道至玄，因数可以见其妙”
丹麦物理学家雅各布.波尔研究了花瓶及其他物体落地破碎的情况，发现碎片的大小和数量之间是有严格的数学关系的：如下
花瓶、茶杯：16倍=(√2)8=(4√2)16
玻璃棒：11倍≈(√2)7≈(4√2)14
玻璃球：40倍≈(4√2)21
而且碎片的倍数与物体的材料无关。
按照从特殊到一般的合情推理模式可以定义一个广义的太极序列：
Bk=2k/2n其中k=k=……，-2，-1，0，1，2，…
n=1，2，3，……，
这一序列也许能从一般再回到特殊中去，比如股市。也许它可以与费波那奇数列并行不悖地用于测市。二者相比，似乎太极序列的可公度比更丰富一些。
如上所述，最重要的还是要抓住可公度性这一要害概念。
定义：如果所用变量xi都是一个集合中的元素且所有的系数a1，a2，a3，……为正整数或负整数，则凡是可以化为如下形式的一阶线性齐次方程：
a1x1+a2x2+a3x3+…+aixi+…=0
称为可公度性方程。当a1=1时，方程为首一多项式。
如果ai的和为0，则该方程是与0(如时间原点)无关的可公度方程。
如果一个集合中的所有的xi都是该方程的元素，该集合为可公度集合。
我们怎样才能把可公度比也纳入这一统一定义中来呢？
我们知道：任意实数r是某正数的p的对数，r=logp。根据这一关系，每一正数必有一实数与之对应，反之亦然。在这对应关系中，实数相加相应于正数相加，若
，r1=logp1r2=logp2r3=logp3
则：r1+r2=r3相应于：p1p2=p3
r1－r2=r3相应于：p1/p2=p3
中有任一式成立，必有另一式成立，二者用不同的语言说出了同一关系。我们可以说正数p取对数后被译成了实数r，r是译文，p是原文。这样，加法就是乘法的译文，减法就是除法的译文，在实际数据处理当中，就可以把演算从加减法扩张到乘除法以及平方和方根。这种翻译过程，是一一对应且保持关系不变，数学术语叫做同构。这一转换帮助我们把概念明晰并统一起来。比如完全比例或几何平均值：M：G=G：H通过取对数，可以表示成：logM+logH－2logG=0；同理，中外比(a-x)a=x2可以写作：log(a-x)+loga-2logx=0。也就是说：可公度比与可公度性方程是同构关系。如此，我们就有了统一的可公度性概念，并且有了归一化的形式。
另外从周期性的角度考察，那个同一尺度可以看做是周期。特别是处理时间序列时更是如此。因此，可公度性是周期性的扩张，周期性是可公度性的特例。
可公度性概念的建立，具有十分重大的实践意义。它表明现实世界不仅仅是二元关系的世界，而且更是一个多元关系的世界。元素与元素之间的关系常常是可数的,离散的，不可微的，具有量子性，可公度性或周期性。周期性关系是人们较为熟悉也研究得比较深入的现象。但对于可公度性的研究尚不够深入，就象人们对二进制已经运用自如而对于三进制则至今也没有设计出相应的计算机一样。天体力学的“三体问题”依然悬而未决，说明多元关系是这个世界真正的奥妙所在。
许多客观事物中都存在着可公度性。翁文波先生曾举出素数的可公度性为例：猜想“从3起，任何素数都可以用其它两个素数之和减去另一个素数来表示”，例如
3=5+5-7=7+7-11=5+11-13=13+7-17=……
5=13+3-11=11+7-13=19+3-17=17+7-19=……
………………
这一翁氏猜想，妙在它是多元关系。要在数学上严格证明它可能比证明哥德巴赫猜想更难。但这并不影响我们使用它。
翁文波先生还对化学元素周期表中化学元素的可公度性进行了研究。其发现是令人深思的。
本文补充另一个例子，进一步说明多元关系的客观存在性。这就是多面体的面数、棱数、顶点数之间的关系。见下表(只去正多面体为例)
多面体名称
顶点数V
面数F
棱数E
V+F-E
正四面体
4
4
6
2
正六面体
8
6
12
2
正八面体
6
8
12
2
正十二面体
20
12
30
2
正二十面体
12
20
30
2
如果单看三者之间数据变化似乎并无规律性，但经过简单的加减运算却得到了规律性：顶点数与面数之和减去棱数是一个不变数2，即：
V+F-E=2或：V+F-E-2=0
这就是著名的欧拉公式。我对于哲学家笛卡尔首先列出上表，并反复寻找V、F、E之间的关系而且找到了的过程大为赞叹，他进而推测对于任何形状的多面体都可能是上述关系，虽然他无法证明而是欧拉给出了数学证明。
显然，这也是一个典型的多元关系的例子
